Question

17．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，且，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|，则向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，设$\overrightarrow{a}$=（x，0），$\overrightarrow{b}$=（0，y）．（x＞0，y＞0）．又|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|，可得$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2|x|，解得y=$\sqrt{3}x$．再利用向量数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．

解答 解：∵非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴设$\overrightarrow{a}$=（x，0），$\overrightarrow{b}$=（0，y）．（x＞0，y＞0）．
又|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2|x|，
解得y=$\sqrt{3}x$．
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}$=-3x²，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$=2x，$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{3}$x．
设向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ．
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{3{x}^{2}}{2x•\sqrt{3}x}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．