Question

11．在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为45°，若E是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{10}}}{20}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{20}$
• C． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 取AB的中点F，连接EF，DF，则EF∥PA．从而∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或补角）．由此能求出异面直线DE与PA所成角的余弦值．

解答 解：取AB的中点F，连接EF，DF，
∵E为PB中点，∴EF∥PA．
∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或补角）．
又∵∠PBO=45°，BO=1，
∴PO=1，PB=$\sqrt{2}$
在Rt△AOB中，
AO=AB•cos30°=$\sqrt{3}$=OP，
∴在Rt△POA中，PA=2，
∴EF=1．
∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，
∴△ABD为正三角形．∴DF=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∵PB=PD=$\sqrt{2}$，BD=2，∴△PBD为等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴cos∠DEF=$\frac{\frac{5}{2}+1-3}{2×\frac{\sqrt{10}}{2}×1}$=$\frac{\sqrt{10}}{20}$．
即异面直线DE与PA所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{20}$．
故选：B．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．