Question

18．设F₁，F₂分别是双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以线段F₁，F₂为直径的圆O与双曲线的一个交点为P，与y轴交于B，D两点，且与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，则下列命题正确的是②③④．（写出所有正确的命题编号）
①线段BD是双曲线的虚轴；
②△PF₁F₂的面积为b²；
③若∠MAN=120°，则双曲线C的离心率为$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$；
④△PF₁F₂的内切圆的圆心到y轴的距离为a．

Answer 1

分析 根据双曲线的性质分别进行求解判断即可．

解答 解：①以线段F₁，F₂为直径的圆O的半径R=c，则B（0，c），D（0，c），
则线段BD不是双曲线的虚轴；故①错误，
②∵三角形PF₁F₂是直角三角形，
∴PF₁²+PF₂²=4c²，
又PF₁-PF₂=2a，
则平方得PF₁²+PF₂²-2PF₁PF₂=4c²，
即4a²-2PF₁PF₂=4c²，
则PF₁PF₂=2c²-2a²=2b²，
则△PF₁F₂的面积为S=$\frac{1}{2}$PF₁PF₂=$\frac{1}{2}×$2b²=b²，故②正确，
③由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=b}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-a}\\{y=-b}\end{array}\right.$，
即M（a，b），N（-a，-b），
则AN⊥x轴，
若∠MAN=120°，
则∠MAx=30°，
则tan30°=$\frac{b}{2a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，平方得$\frac{{b}^{2}}{4{a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，
则双曲线C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{4}{3}}$=$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$；故③正确，
④设内切圆与x轴的切点是点H，PF₁、PF₂分 与内切圆的切点分别为M₁、N₁，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，由圆的切线长定理知，|PM₁|=|PN₁|，
故|M₁F₁|-|N₁F₂ |=2a，
即|HF₁|-|HF₂|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，

故（x+c）-（c-x）=2a，∴x=a．
即△PF₁F₂的内切圆的圆心到y轴的距离为a．故④正确，
故答案为：②③④

点评 本题主要考查与双曲线有关的命题的真假判断，涉及双曲线的性质，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．