题目内容
8．若对于任意的x＞0，不等式$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立，则实数a的取值范围为（ ）| A． | a≥$\frac{1}{5}$ | B． | a＞$\frac{1}{5}$ | C． | a＜$\frac{1}{5}$ | D． | a≤$\frac{1}{5}$ |
分析 由x＞0，不等式$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}+3}$，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围．
解答 解：由x＞0，$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}+3}$，
令t=x+$\frac{1}{x}$，则t≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2
当且仅当x=1时，t取得最小值2．
$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$取得最大值$\frac{1}{5}$，
所以对于任意的x＞0，不等式$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立，
则a≥$\frac{1}{5}$，
故选：A．
点评 本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．
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如图，在四棱锥S-ABCD中，平面ABCD⊥平面SAB，侧面SAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=12，CD=BC=6．
13．给出下列三个命题：
①“若x2+2x-3≠0则x≠1”为假命题；
②若p∧q为假命题，则p、q均为假命题；
③命题p：?x∈R，2x＞0，则?p：?x∈R，2x≤0，
其中正确的个数是（ ）
①“若x2+2x-3≠0则x≠1”为假命题；
②若p∧q为假命题，则p、q均为假命题；
③命题p：?x∈R，2x＞0，则?p：?x∈R，2x≤0，
其中正确的个数是（ ）
| A． | 0 | B． | 1 | C． | 2 | D． | 3 |
20．已知关于x的一次函数y=mx+n，设m∈{-1，1，2}，n∈{-2，2}，则函数y=mx+n是增函数的概率是（ ）
| A． | $\frac{2}{3}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{3}{10}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
17．手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：
其中，a，b是正整数，且a＜b
（Ⅰ）该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；
（Ⅱ）从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X，求X 的分布列；
（Ⅲ）设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a，b的值（结论不要求证明）．
| 手机编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| A型待机时间（h） | 120 | 125 | 122 | 124 | 124 | 123 | 123 |
| B型待机时间（h） | 118 | 123 | 127 | 120 | 124 | a | b |
（Ⅰ）该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；
（Ⅱ）从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X，求X 的分布列；
（Ⅲ）设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a，b的值（结论不要求证明）．