Question

4．如图，正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，在面对角线A₁D上取点M，在面对角线C₁D上取点N，使得MN∥平面AA₁C₁C，当线段MN长度取到最小值时，三棱锥A₁-MND₁的体积为1．

Answer 1

分析 MN长度最小值，做平面A₁BD和CB₁D₁，对角线平行，故平面A₁BD∥平面CB₁D₁．要使MN长度取到最小值，即最小值为两平面之间的距离，确定M，N的位置，根据相似A₁-MND₁求边长，即可求解三棱锥A₁-MND₁的体积．

解答 解：如图：MN长度最小值，做平面A₁BD和CB₁D₁，对角线平行，故平面A₁BD∥平面CB₁D₁．

∴动点M，N，要使MN长度取到最小值，即最小值为两平面之间的距离，且MN∥平面AA₁C₁C，
易证AC₁⊥面A1BD，AC₁⊥面A₁BDC，AC₁与两平面分布交于P₁Q₁，又∵在A₁C₁P₁中，PQ₁为中线，
∴P₁Q₁=AP₁
所以：P₁Q₁=$\frac{1}{3}$AC₁
P₁Q₁∥平面AA₁C₁C，故而MN∥平面AA₁C₁C，
又∵P₁Q₁=$\frac{1}{3}$AC₁，可知M，N在A₁D，CD₁的长度的$\frac{1}{3}$处．
那么：${S}_{△{A}_{1}}M{D}_{1}=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}{A}_{1}D×\frac{1}{2}A{D}_{1}$=3．
N在DD₁的长度为$\frac{1}{3}$CD．
∴三棱锥A₁-MND₁的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{{A}_{1}M{D}_{1}}×\frac{1}{3}CD=1$

点评 本题考察了动点的变化，两点直线的动点问题，可以转化为平面的之间的最短距离来考虑．由相似比例求其位置，在求其体积．属于难题．