Question

3．已知函数f（x）=|x-a|+|x-2|，a＞0．
（1）当a=3时，解不等式f（x）＜4；
（2）若正实数a，b，c满足a+b+c=1，且不等式f（x）$≥\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{b+c}$对任意实数x都成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的几何意义求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最小值，问题转化为关于a，b的不等式组，求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=3时，函数f（x）=|x-3|+|x-2|，
表示数轴上的x对应点到2，3对应点的距离之和，
而$\frac{1}{2}$和$\frac{9}{2}$对应点到2、3对应点的距离之和正好是4，
故不等式f（x）＜4的解集是（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$）；
（2）∵f（x）=|x-a|+|x-2|≥|a-2|=2-a，
由题意得2-a$≥\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{b+c}$，
即（2-a）（1-a）≥a²+b²+c²①，
正实数b，c满足a+b+c=1，
∴（1-a）²=（b+c）²≤2（b²+c²），
∴$\frac{{（1-a）}^{2}}{2}$≤b²+c²②，
综合①②可得（1-a）（2-a）≥a²+$\frac{{（1-a）}^{2}}{2}$，
即a²+4a-3≤0，
再结合0＜a＜1，
解得：0＜a≤$\sqrt{7}$-2．

点评 本题考查了绝对值的几何意义，考查解不等式问题，是一道中档题．