Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-4x+4．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）求 函数f（x）闭区间[-2，m]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）通过讨论m的范围，求出函的单调区间，从而求出函数的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x²-4，
令f′（x）=0，得x₁=-2，x₂=2，
当f′（x）＞0时，即x＜-2或x＞2时，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，即-2＜x＜2时，函数f（x）单调递减，
当x=-2时，函数有极大值，且f（-2）=$\frac{28}{3}$，
当x=2时，函数有极小值，且f（2）=-$\frac{4}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
f（x）在（-∞，-2）递增，在（-2，2）递减，在（2，+∞）递增，
若-2＜m≤2，则f（x）在（-2，m]递减，
f（x）_min=f（m）=$\frac{1}{3}$m³-4m+4，
若m＞2，则f（x）在（-2，2）递减，在（2，m]递增，
f（x）_min=f（2）=$\frac{8}{3}$-8+4=-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．