Question

9．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且$\sqrt{3}$bsinA-acosB-2a=0．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）若b=$\sqrt{7}$，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求a，c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得sin（B-$\frac{π}{6}$）=1，结合B的范围即可得解B的值．
（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求ac=2，由余弦定理可得：a²+c²=5，联立即可求得a，c的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵$\sqrt{3}$bsinA-acosB-2a=0．
∴由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinBsinA-sinAcosB-2sinA=0，
∴$\sqrt{3}$sinB-cosB=2，可得sin（B-$\frac{π}{6}$）=1，
∵B∈（0，π），B-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），可得：B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴B=$\frac{2π}{3}$…6分
（Ⅱ）∵△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$acsin$\frac{2π}{3}$，
∴ac=2，①
∵b=$\sqrt{7}$，B=$\frac{2π}{3}$，由余弦定理可得：a²+c²-2accos$\frac{2π}{3}$=7，解得：a²+c²=5，②
∴联立①②可得：a=1，c=2，或a=2，c=1…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．