Question

3．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，面BMD₁N与棱CC₁，AA₁分别交于点M，N，且M，N均为中点．
（1）求证：AC∥面BMD₁N；
（2）若$AD=CD=2，D{D_1}=2\sqrt{2}，O$为AC的中点．BD₁上是否存在动点F，使得OF⊥面BMD₁N？若存在，求出点F的位置，并加以证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接MN，证明四边形ACMN为平行四边形，所以AN∥MN，利用线面平行的判定定理证明AC∥面BMD₁N；
（2）当点F满足D₁F=3BF时，面ACF⊥面BD₁E，证明AC⊥OF，MN⊥OF，即可得出结论．

解答 （1）证明：连接MN，因为M，N均为中点，所以$AN=\frac{1}{2}A{A_1}，CM=\frac{1}{2}C{C_1}$，
又因为AA₁∥CC₁，且AA₁=CC₁，所以AN∥CM，且AN=CM，
所以四边形ACMN为平行四边形，所以AN∥MN，
又因为MN?面BMD₁N，AC?面BMD₁N，所以AC∥面BMD₁N；
（2）解：当点F满足D₁F=3BF时，面ACF⊥面BD₁E，证明如下：
连接BD交AC于O，则BD经过点O，取BD₁中点G，连接OF，DG，
则OF为三角形BDG边DG上的中位线，所以OF∥DG，
因为$B{D_1}=2\sqrt{2}=D{D_1}$，且G为BD₁的中点，所以BD₁⊥DG，所以BD₁⊥OF，
因为底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD，又DD₁⊥底面ABCD，所以AC⊥DD₁，
又BD∩DD₁=D，所以AC⊥面BDD₁，又OF?面BDD₁，所以AC⊥OF，
由第（1）问知AC∥MN，所以MN⊥OF，
又MN，BD₁是平面四边形BMD₁N的对角线，所以它们必相交，所以OF⊥面BMD₁N．

点评 本题主要考查立体几何中线面平行，线面垂直的证明，做题时综合考查了学生的识图能力，空间想象的能力以及计算能力．