Question

设f（x）=-

1

3

x³+

1

2

x²+2ax．
（1）当a=1时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在（

2

3

，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，f′（x）=-x²+x+2，由此利用导数性质能求出f（x）的极值．
（2）f′（x）=-x²+x+2a=-（x-

1

2

）²+

1

4

+2a，由此利用导数性质能求出当a＞-

1

9

时，f（x）在[

2

3

，+∞）上存在单调递增区间．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=-

1

3

x³+

1

2

x²+2x，
f′（x）=-x²+x+2，
由f′（x）=0，得x=-1，或x=2，
由f′（x）＜0，得x＜-1或x＞2，
由f′（x）＞0，得-1＜x＜2，
∴f（x）的减区间为（-∞，-1），（2，+∞），
f（x）的增区间为（-1，2）．
∴f（x）_极小值=f（-1）=-

7

6

；f（x）_极大值=f（2）=

10

3

．
（2）f′（x）=-x²+x+2a=-（x-

1

2

）²+

1

4

+2a，
当x∈[

2

3

，+∞）时，
f′（x）的最大值为f′(

2

3

)=

2

9

+2a，
令

2

9

+2a＞0，得a＞-

1

9

．
∴当a＞-

1

9

时，f（x）在（

2

3

，+∞）上存在单调递增区间．

点评：本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．