Question

数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，满足a_n+2=2a_n+1-a_n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

n(12-an)

（n∈N^*），T_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*），求最大的整数m，使得对任意n∈N^*，均有T_n＞

m

32

成立．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据数列的递推关系，结合等差数列的定义即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出b_n的表达式，利用裂项法进行求和，解不等式即可．

解答： 解：（1）由题意，a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴{a_n}为等差数列，
设公差为d，
由题意得2=8+3d⇒d=-2，
∴a_n=8-2（n-1）=10-2n
（2）∵bn=

1

n(12-an)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)+(

1

n

-

1

n+1

)]=

n

2(n+1)

．
若Tn＞

m

32

对任意n∈N^*成立，即

n

n+1

＞

m

16

对任意n∈N^*成立，
∵

n

n+1

(n∈N*)的最小值是

1

2

，
∴

m

16

＜

1

2

，∴m的最大整数值是7
即存在最大整数m=7，使对任意n∈N^*，均有Tn＞

m

32

．

点评：本题主要考查递推数列的应用，以及数列求和，利用裂项法以及等差数列的定义判断数列是等差数列是解决本题的关键．