Question

已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3是幂函数，且当x∈（-∞，0）时为减函数，
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）奇偶性并说明理由．

Answer 1

考点：幂函数的性质,幂函数的概念、解析式、定义域、值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据幂函数的定义建立方程关系即可求实数m的值；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）奇偶性．

解答： 解：（1）由于y=(m2-m-1)xm2-2m-3为幂函数，
所以m²-m-1=1，解得m=2，或m=-1，
当m=2时，m²-2m-3=-3，y=x^-3，当时x∈（-∞，0）为减函数，满足题意；
当m=-1时，m²-2m-3=0，y=x⁰=1（x≠0）在x∈（-∞，0）为常函数，不合题意，舍去．
综上，m=2．
（2）由（1）知f（x）=x^-3，其定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，
且满足f（-x）=（-x）^-3=-x^-3=-f（x），
所以函数f（x）=x^-3是奇函数．

点评：本题主要考查幂函数的定义和性质，以及函数奇偶性的判断，利用定义法是解决本题的关键．