Question

13．△ABC的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，且asinA-csinC=（a-b）sinB，c=3．则△ABC面积的最大值为（　　）

• A． $\frac{3}{8}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{9\sqrt{3}}{8}$
• D． $\frac{9\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 通过正弦定理化简表达式，利用余弦定理求出C的大小，进而利用余弦定理可求ab≤9，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵asinA-csinC=（a-b）sinB，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，得a²=（a-b）b+c²，
即a²+b²-c²=ab．①
由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
结合0＜C＜π，得C=$\frac{π}{3}$．
∵c=3，
∴由余弦定理可得：9=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，当且仅当a=b等号成立，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$≤$\frac{1}{2}×9×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，即△ABC面积的最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理与余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查了计算能力，属于中档题．