Question

已知函数f（x）=alnx+

1

x

（a＞0）
（1）求函数f（x）的单调区间和极值．
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，由导数的正负可得函数f（x）的单调区间和极值；
（2）求出原函数的导函数，由导函数大于0解出x的范围，然后对a分三种情况讨论，利用f（x）在[1，e]上的最小值为0，求a的值．

解答： 解：由题意知x＞0，f′（x）=

a

x

-

1

x2

（a＞0）．（1分）
（1）由f′（x）＞0得

a

x

-

1

x2

＞0，解得x＞

1

a

，
所以函数f（x）的单调增区间是（

1

a

，+∞）；
由f′（x）＜0得

a

x

-

1

x2

＜0，解得x＜

1

a

，
所以函数f（x）的单调减区间是（0，

1

a

）．
所以当x=

1

a

时，函数f（x）有极小值为f（

1

a

）=aln

1

a

+a=a-aln a．（6分）
（2）由（1）可知，当x∈（0，

1

a

）时，f（x）单调递减，
当x∈（

1

a

，+∞）时，f（x）单调递增，
①若0＜

1

a

＜1，即a＞1时，函数f（x）在[1，e]上为增函数，
故函数f（x）的最小值为f（1）=aln 1+1=1，显然1≠0，故不满足条件．（9分）
②若1≤

1

a

≤e，即

1

e

≤a≤1时，函数f（x）在[1，

1

a

）上为减函数，在[

1

a

，e]上为增函数，
故函数f（x）的最小值为f（

1

a

）=aln

1

a

+a=a-aln a=a（1-ln a）=0，即ln a=1，解得a=e，
而

1

e

≤a≤1，故不满足条件．（11分）
③若

1

a

＞e，即0＜a＜

1

e

时，函数f（x）在[1，e]上为减函数，
故函数f（x）的最小值为f（e）=aln e+

1

e

=a+

1

e

=0．
即a=-

1

e

，而0＜a＜

1

e

，故不满足条件．
综上所述，这样的a不存在．（12分）

点评：本题考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是对a的范围正确分段，此题是有一定难度题目．