Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，过左焦点倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为

4 2

3

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M（1，0）作l的垂线垂足为Q，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由椭圆E的离心率为

2

2

，可得

c

a

=

a2-b2

a

=

2

2

，解得a²=2b²，可得c=b．故椭圆E的方程可设为x²+2y²=2b²，则椭圆E的左焦点坐标为（-b，0），过左焦点倾斜角为45°的直线方程为l′：y=x+b．与椭圆方程联立可得交点坐标，利用弦长公式|AB|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4 2 b

3

=

4 2

3

，解得b即可得出．
（2）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，根据直线l和椭圆E有且仅有一个交点，可得△=0，m²=2k²+1．由于直线MQ与l垂直，可得直线MQ的方程为：y=-

1

k

(x-1)，联立

y=- 1 k (x-1) y=kx+m

，解得

x= 1-km 1+k2 y= k+m 1+k2

，消去m，k即可得出．

解答： 解：（1）∵椭圆E的离心率为

2

2

，
∴

c

a

=

a2-b2

a

=

2

2

，解得a²=2b²，
∴c²=a²-b²=b²，即c=b．
故椭圆E的方程可设为x²+2y²=2b²，则椭圆E的左焦点坐标为（-b，0），过左焦点倾斜角为45°的直线方程为l′：y=x+b．
设直线l′与椭圆E的交点记为A，B，联立

x2+2y2=2b2 y=x+b

，消去y，得3x²+4bx=0，
解得x₁=0，x₂=-

4b

3

，
∴|AB|=

(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4 2 b

3

=

4 2

3

，解得b=1．
故椭圆E的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）（ i）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y=kx+m，
联立

y=kx+m x2+2y2=2

，消去y并整理，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直线l和椭圆E有且仅有一个交点，∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，
化简并整理，得m²=2k²+1．
∵直线MQ与l垂直，∴直线MQ的方程为：y=-

1

k

(x-1)，
联立

y=- 1 k (x-1) y=kx+m

，解得

x= 1-km 1+k2 y= k+m 1+k2

，
∴x²+y²=(

1-km

1+k2

)2+(

k+m

1+k2

)2=

m2+1

1+k2

=

2k2+2

1+k2

=2．（*）
（ ii）当切线l的斜率为0时，此时Q（1，±1），符合（*）式．  
（ iii）当切线l的斜率不存在时，此时Q(

2

，0) 或(-

2

，0)，符合（*）式．
综上所述，点Q的轨迹方程为x²+y²=2．

点评：本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想，属于难题．