题目内容
设函数f（x）=
x2+bx-lnx，其中a，b∈R．
（Ⅰ）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-3，求实数a，b的值；
（Ⅱ）当a≥0时，讨论f（x）在其定义域上的单调性．
| a |
| 2 |
（Ⅰ）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-3，求实数a，b的值；
（Ⅱ）当a≥0时，讨论f（x）在其定义域上的单调性．
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）f′(x)=
，由题意得f(1)=
+b=-1，f′（1）=a+b-1=2．解出即可；
（Ⅱ）对a，b分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
| ax2+bx-1 |
| x |
| a |
| 2 |
（Ⅱ）对a，b分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
解答：
解：（Ⅰ）由f(x)=
x2+bx-lnx，x∈(0，+∞)，
得f′(x)=
．
由题意得f(1)=
+b=-1，f'（1）=a+b-1=2．
解得a=8，b=-5．
（Ⅱ）由f′(x)=
，x∈（0，+∞）．
（1）当a=0时，f′(x)=
．
①若b≤0，当x＞0时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）内单调递减．
②若b＞0，当0＜x＜
时，f′（x）＜0；当x＞
时，f′（x）＞0．
∴f（x）在(0，
)内单调递减，在(
，+∞)内单调递增．
（ 2）当a＞0时，令f'（x）=0，得ax2+bx-1=0，
∵△=b2+4a＞0，解得x1=
，x2=
，（x1＜0，x2＞0）．
当0＜x＜x2时，f'（x）＜0；当x＞x2时，f'（x）＞0．
∴f（x）在（0，x2）内单调递减，在（x2，+∞）内单调递增．
综上所述：当a=0，b≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当a=0，b＞0时，f（x）在(0，
)内单调递减，在(
，+∞)内单调递增；
当a＞0时，f（x）在(0，
)内单调递减，在(
，+∞)内单调递增．
| a |
| 2 |
得f′(x)=
| ax2+bx-1 |
| x |
由题意得f(1)=
| a |
| 2 |
解得a=8，b=-5．
（Ⅱ）由f′(x)=
| ax2+bx-1 |
| x |
（1）当a=0时，f′(x)=
| bx-1 |
| x |
①若b≤0，当x＞0时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）内单调递减．
②若b＞0，当0＜x＜
| 1 |
| b |
| 1 |
| b |
∴f（x）在(0，
| 1 |
| b |
| 1 |
| b |
（ 2）当a＞0时，令f'（x）=0，得ax2+bx-1=0，
∵△=b2+4a＞0，解得x1=
-b-
| ||
| 2a |
-b+
| ||
| 2a |
当0＜x＜x2时，f'（x）＜0；当x＞x2时，f'（x）＞0．
∴f（x）在（0，x2）内单调递减，在（x2，+∞）内单调递增．
综上所述：当a=0，b≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当a=0，b＞0时，f（x）在(0，
| 1 |
| b |
| 1 |
| b |
当a＞0时，f（x）在(0，
-b+
| ||
| 2a |
-b+
| ||
| 2a |
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、一元二次方程与一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
练习册系列答案
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设抛物线C1：y2=2x与双曲线C2：
-
=1的焦点重合，且双曲线C2的渐近线为y=±
x，则双曲线C2的实轴长为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| A、1 | ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|