Question

14．已知函数$f（x）=\frac{{\sqrt{|x|}}}{e^x}$，若关于x的方程f（x）-m+1=0恰有三个不等实根，则实数m的取值范围为$（{1，\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}+1}）$．

Answer 1

分析 当x≤0时，$f（x）=\frac{{\sqrt{|x|}}}{e^x}$=$\frac{\sqrt{-x}}{{e}^{x}}$为（-∞，0]上的减函数，由函数的单调性求其最小值；当x＞0时，利用导数研究函数的单调性并求得极值，画出简图，把关于x的方程f（x）-m+1=0恰有三个不等实根转化为y=f（x）与y=m-1的图象有3个不同交点，数形结合得答案．

解答 解：当x≤0时，$f（x）=\frac{{\sqrt{|x|}}}{e^x}$=$\frac{\sqrt{-x}}{{e}^{x}}$为（-∞，0]上的减函数，
∴f（x）_min=f（0）=0；
当x＞0时，f（x）=$\frac{\sqrt{x}}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}•{e}^{x}-\sqrt{x}•{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{1-2x}{2\sqrt{x}{e}^{x}}$．
则x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）时，f′（x）＜0，x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递减，在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递增．
∴f（x）的极大值为f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$．
其大致图象如图所示：
若关于x的方程f（x）-m+1=0恰有三个不等实根，
即y=f（x）与y=m-1的图象有3个不同交点，则0＜m-1＜$\frac{\sqrt{2e}}{2e}$．
得1＜m＜$\frac{\sqrt{2e}}{2e}+1$．
∴实数m的取值范围为$（{1，\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}+1}）$，
故答案为：$（{1，\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}+1}）$．

点评 本题考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的极值，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．