Question

9．如图，从左到右有5个空格．
（1）若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？
（2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？
（3）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？

Answer 1

分析 （1）根据题意，分2步进行分析：①、分析0，易得0有4种选法；②、将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，由分步计数原理计算可得答案，
（2）根据题意，依次分析5个格子的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分2步进行分析：①、将7个小球分成5组，有2种分法：即分成2-2-1-1-1的5组或分成3-1-1-1-1的5组，②、将分好的5组全排列，对应5个空格，由分步计数原理计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，分2步进行分析：
①、第三个格子不能填0，则0有4种选法；
②、将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，有A₄⁴种情况，
则一共有$4A_4^4=96$种不同的填法；
（2）根据题意，第一个格子有3种颜色可选，即有3种情况，
第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有2种颜色可选，即有2种情况，
同理可得：第三、四、五个格子都有2种情况，
则五个格子共有3×2×2×2×2=48种不同的涂法；
（3）根据题意，分2步进行分析：
①、将7个小球分成5组，有2种分法：
若分成2-2-1-1-1的5组，有$\frac{{C}_{7}^{2}{C}_{5}^{2}}{{A}_{2}^{2}}$种分法，
若分成3-1-1-1-1的5组，有C₇³种分组方法，
则有（$\frac{{C}_{7}^{2}{C}_{5}^{2}}{{A}_{2}^{2}}$+C₇³）种分组方法，
②、将分好的5组全排列，对应5个空格，有A₅⁵种情况，
则一共有$（\frac{C_7^2C_5^2}{A_2^2}+C_7^3）A_5^5=16800$种放法．

点评 本题考查排列、组合的实际应用，（3）要先分好5组，再对应放到5个格子中．