Question

4．已知函数f（x）=$\frac{2}{x-1}$，（x∈[2，6]）
（1）利用定义证明函数f（x），x∈[2，6]是减函数
（2）求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用函数的单调性的定义证明函数f（x）在[2，6]上是减函数．
（2）根据函数f（x）在[2，6]上是减函数，可得函数的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{2}{x-1}$，（x∈[2，6]），设2≤x₁＜x₂≤6，
∵f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{x}_{1}-1}$-$\frac{2}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2{（x}_{2}-1）-2{（x}_{1}-1）}{{（x}_{1}-1）•{（x}_{2}-1）}$=$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}-1）•{（x}_{2}-1）}$，
由题设可得x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，∴$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}-1）•{（x}_{2}-1）}$＞0，故f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）在[2，6]上是减函数．
（2）根据函数f（x）在[2，6]上是减函数，可得最大值为f（2）=2，最小值为f（6）=$\frac{2}{5}$．

点评 本题主要考查函数的单调性的证明和应用，属于基础题．