Question

5．已知f（x）=|2x-1|+ax+2．
（ I）当a=1时，解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=-1，不等式f（x）≤5，即为|3x-1|≤x+2，去掉绝对值解不等式f（x）≤5；
（Ⅱ）分析知函数f（x）有最小值的充要条件为$\left\{\begin{array}{l}{a-2≤0}\\{a+2≥0}\end{array}\right.$，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|2x-1|+x+2，
x≤$\frac{1}{2}$时，f（x）≤4可化为1-2x+x+x≤4，解得：-1≤x≤$\frac{1}{2}$，
x＞$\frac{1}{2}$时，f（x）≤4可化为2x-1+x+2≤4，解得：$\frac{1}{2}$＜x≤1，
综上，不等式的解集是{x|-1≤x≤1}；
（Ⅱ）f（x）=|2x-1|+ax+2=$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）x+3，x＜\frac{1}{2}}\\{（a+2）x+1，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
若函数f（x）有最小值，则$\left\{\begin{array}{l}{a-2≤0}\\{a+2≥0}\end{array}\right.$，
解得：-2≤a≤2．

点评 本题考查不等式的解法，考查绝对值的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．