Question

已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x、y，恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，有f（x）＜0．
（Ⅰ）求证：f（x）为奇函数且在R上是减函数；
（Ⅱ）若正数x，y满足

1

x

+

4

y

=1，且f（x）+f（y）+f（1-m）＜0恒成立，求m的范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数恒成立问题

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）令x=y=0得，f（0）+f（0）=f（0），即f（0）=0；从而可得f（x）+f（-x）=0；从而证明为奇函数；再由单调性的定义证明．
（Ⅱ）f（x）+f（y）+f（1-m）＜0可化为f（x+y）＜f（m-1）；从而由基本不等式可得x+y=（x+y）（

1

x

+

4

y

）=

y

x

+

4x

y

+5≥9；从而可得9＞m-1，从而解得．

解答： 解：（Ⅰ）证明：令x=y=0得，f（0）+f（0）=f（0），即f（0）=0；
令y=-x得，f（x）+f（-x）=f（0）=0；
故f（x）为奇函数；
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＞0，

故f（x₁）-f（x₂）＞0；
故f（x）在R上是减函数；
（Ⅱ）f（x）+f（y）+f（1-m）＜0可化为f（x+y）＜f（m-1）；
又x+y=（x+y）（

1

x

+

4

y

）=

y

x

+

4x

y

+5≥9；
（当且仅当

y

x

=

4x

y

，即y=2x时，等号成立）
从而可化f（x+y）＜f（m-1）恒成立为9＞m-1，
即m＜10；
即m的取值范围为（-∞，10）．

点评：本题考查了函数的奇偶性及单调性的证明与应用，同时考查了恒成立问题的应用，属于中档题．