Question

17．若实数x₀满足f（x₀）=x₀，称x₀为函数f（x）的不动点．有下面三个命题：
（1）若f（x）是二次函数，且没有不动点，则函数f（f（x））也没有不动点；
（2）若f（x）是二次函数，则函数f（f（x））可能有4个不动点；
（3）若f（x）的不动点的个数是2，则f（f（x））的不动点的个数不可能是3．
它们中所有真命题的序号是（1）（2）．

Answer 1

分析 （1）由题意知关于x的方程f（x）=x没有实数根，转化为：函数y=f（x）和y=x的图象没有交点，根据二次函数、一次函数的图象判断即可；
（2）根据二次函数、四次函数的图象判断即可；
（3）设f（x）=x²-1，化简f（f（x））=x后判断出方程根的个数，结合新定义判断．

解答 解：（1）由题意得，关于x的方程f（x）=x没有实数根，
即函数y=f（x）和y=x的图象没有交点，
①当a＞0时，二次函数y=f（x）-x，
则y=ax²+（b-1）x+c的图象在x轴的上方，
∴?x∈R，f（x）-x＞0恒成立，则?x∈R，f（x）＞x恒成立，
∴?x∈R，f[f（x）]＞f（x）＞x恒成立；
②当a＜0时，同理可证f[f（x）]＞f（x）＞x恒成立；
综上，f（x）没有不动点，则函数f（f（x））也没有不动点，（1）正确；
（2）因为f（x）是二次函数，
所以函数f（f（x））是一元四次函数，
则函数图象与x轴可能有4个交点，
则则函数f（f（x））可能有4个不动点，（2）正确；
（3）当f（x）=x²-1时，则x²-1=x，即x²-x-1=0有两个根，
即f（x）的不动点的个数是2，
则f（f（x））=x为：（x²-1）²-1=x，
化简得，x⁴-2x²-x=0，即x（x²-2x-1）=0，
则方程x（x²-2x-1）=0有3个实数根，
即f（f（x））的不动点的个数是3，（3）不正确，
综上可得，所有真命题的序号是（1）（2），
故答案为：（1）（2）．

点评 本题考查新定义的灵活应用，二次函数与二次方程关系，以及函数与方程的转化问题，考查转化思想，分析解决问题的能力，属于中档题．