Question

12．通过研究函数f（x）=2x⁴-10x²+2x-1在x∈R内的零点个数，进一步研究得函数g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n＞3，n∈N且n为奇数）在x∈R内零点有3个．

Answer 1

分析 对函数f（x）=2x⁴-10x²+2x-1进行求导，求得函数的极值，单调性，判断零点个数，对于函数g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）用同样的方法可得，注意计算时整体代换．

解答 解：∵函数f（x）=2x⁴-10x²+2x-1
∴f′（x）=8x³-20x+2=2（4x³-10x+1）
在f′（x）=0时，
f（x）=2x⁴-10x²+2x-1，
=2x⁴-5x²+$\frac{1}{2}$x-5x²+$\frac{3}{2}$x-1，
=$\frac{1}{2}$（4x³-10x+1）-5x²+$\frac{3}{2}$x-1，
=-5x²+$\frac{3}{2}$x-1，
由于判别式△＜0，
∴f（x）的所有极值均是负数．
又∵当x趋向于负无穷和正无穷时均为无穷大，
∴零点有两个．
g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n＞3，n∈N且n为奇数）
也有，g′（x）=0时有，g（x）=（$\frac{20}{n}$-10）x²+（2-$\frac{2}{n}$）x-1
可知n＞3时，其判别式△＜0
n为奇数时，有3个零点，
故答案为：3．

点评 考查函数零点判定定理和利用导数研究函数的单调性和极值等问题，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．