Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

，长轴长为2

3

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx-

1

2

交椭圆C于A、B两点，试问：在y轴正半轴上是否存在一个定点M满足

MA

⊥

MB

，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由已知条件推导出e=

c

a

=

6

3

，2a=2

3

，由此能求出椭圆的方程．
（II）法一：当k=0时，推导出

PA

•

PB

=0，从而得到P（0，1）满足条件，若所求的定点M存在，则一定是P点，然后证明M（0，1）就是满足条件的定点．
（Ⅱ）法二：设y轴上一点M（0，t），满足

MA

•

MB

=0，设直线y=kx-

1

2

交椭圆于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立方程

y=kx- 1 2 x2 3 +y2=1

，得（12k²+4）x²-12kx-9=0，利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M（0，1）满足

MA

⊥

MB

．

解答： 解：（I）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

，长轴长为2

3

，
∴e=

c

a

=

6

3

，2a=2

3

…（2分）
解得a=

3

，b=1…（3分）
∴椭圆的方程为

x2

3

+y2=1．…（4分）
（II）解法一：当k=0时，直线y=-

1

2

与椭圆交于两点的坐标分别为A(

3

2

，-

1

2

)，B(-

3

2

，-

1

2

)
设y轴上一点P（0，t），满足

PA

⊥

PB

，即

PA

•

PB

=0，
∴(

3

2

，-

1

2

-t)•(-

3

2

，-

1

2

-t)=0，
解得t=1或t=-2（舍），
则可知P（0，1）满足条件，
若所求的定点M存在，则一定是P点．…（6分）
下面证明M（0，1）就是满足条件的定点．
设直线y=kx-

1

2

交椭圆于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由题意联立方程

y=kx- 1 2 x2 3 +y2=1

，
消去y得：（12k²+4）x²-12kx-9=0…（8分）
由韦达定理得，

x1+x2= 12k 12k2+4 x1x2= -9 12k2+4

，…（9分）
又∵

MA

=（x₁，y₁-1），

MB

=（x₂，y₂-1），
∴

MA

•

MB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-

3

2

)(kx2-

3

2

)
=(1+k2)x1x2-

3

2

k(x1+x2)+

9

4

=(1+k2)•

-9

12k2+4

-

3

2

k•

12k

12k2+4

+

9

4

=0…（11分）
∴

MA

⊥

MB

，即在y轴正半轴上存在定点M（0，1）满足条件．…（12分）
（Ⅱ）解法二：设y轴上一点M（0，t），满足

MA

⊥

MB

，即

MA

•

MB

=0…（5分）
设直线y=kx-

1

2

交椭圆于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由题意联立方程

y=kx- 1 2 x2 3 +y2=1

，
消去y得：（12k²+4）x²-12kx-9=0…（7分）
由韦达定理得，

x1+x2= 12k 12k2+4 x1x2= -9 12k2+4

…（8分）
∵

MA

=（x₁，y₁-t），

MB

=（x₂，y₂-t），
∴

MA

•

MB

=x1x2+(y1-t)(y2-t)=x1x2+(kx1-

1

2

-t)(kx2-

1

2

-t)
=(1+k2)x1x2-(

1

2

+t)k(x1+x2)+(

1

2

+t)2
=(1+k2)•

-9

12k2+4

-(

1

2

+t)k•

12k

12k2+4

+(

1

2

+t)2=0…（10分）
整理得，k2[12(

1

2

+t)2-12(

1

2

+t)-9]-9+4(

1

2

+t)2=0
由对任意k都成立，得12(

1

2

+t)2-12(

1

2

+t)-9=0
且 -9+4(

1

2

+t)2=0
解得t=1…（11分）
∴存在点M（0，1）满足

MA

⊥

MB

．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查是否存在定点使得向量垂直，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的合理运用．