Question

1．某中学用校车接送教师上下班，从起点站出发后包括终点站一共停4个站，若在起点站上了5个人，中途没有人上车，每位老师在每个站下车的概率相等．若某站没有人下车，则校车就不停，车在终点站一定会停，起点站不算停车．
（1）求校车除终点站外只停一次的概率；
（2）设校车停车次数为ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）设“校车除终点站外只停一次”为事件A，可得P（A）=$\frac{3（{2}^{5}-{∁}_{5}^{0}）}{{4}^{5}}$．
（2）由题意可得ξ=1，2，3，4．P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{5}^{5}}{{4}^{5}}$，P（ξ=2）=$\frac{93}{1024}$，P（ξ=4）=$\frac{M}{{4}^{5}}$，其中M=${∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{3}^{1}$+3${∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{3}^{2}$+3${∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{3}^{3}$+3${∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{2}$=390，P（ξ=3）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=4）．

解答 解：（1）设“校车除终点站外只停一次”为事件A，则P（A）=$\frac{3（{2}^{5}-{∁}_{5}^{0}）}{{4}^{5}}$=$\frac{93}{1024}$．
（2）由题意可得ξ=1，2，3，4．
P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{5}^{5}}{{4}^{5}}$=$\frac{1}{1024}$，P（ξ=2）=$\frac{93}{1024}$，
P（ξ=4）=$\frac{M}{{4}^{5}}$，其中M=${∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{3}^{1}$+3${∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{3}^{2}$+3${∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{1}{∁}_{3}^{3}$+3${∁}_{5}^{1}{∁}_{4}^{2}{∁}_{2}^{2}$=390，∴P（ξ=4）=$\frac{390}{1024}$，
∴P（ξ=3）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=4）=$\frac{540}{1024}$．
可得ξ的分布列：

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{1}{1024}$	$\frac{93}{1024}$	$\frac{540}{1024}$	$\frac{390}{1024}$

Eξ=1×$\frac{1}{1024}$+2×$\frac{93}{1024}$+3×$\frac{540}{1024}$+4×$\frac{390}{1024}$=$\frac{3367}{1024}$．

点评 本题考查了古典概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．