Question

已知数列{a_n}满足，a₁=1，a_n＞0且a_n+1²=

an2

4an2+1

（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}的前n项和S_n满足：b₁=1，

Sn+1

an2

=

Sn

an+12

+16n²-8n-3，求数列{2ⁿb_n}的前n项和A_n．
（3）记T_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，若T_2n+1-T_n≤

m

30

对任意n∈N^*恒成立，求正整数m的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由an+12=

an2

4an2+1

(n∈N*)，得

1

an+12

=

1

an2

+4，由此能求出an=

1

4n-3

．
（2）由已知条件推导出an+12Sn+1=an2Sn+1，从而得到S_n=n（4n-3），进而得到b_n=8n-7，由此利用裂项求和法能求出数列{2ⁿb_n}的前n项和A_n．
（3）设B_n=T_2n+1-T_n，则Bn+1-Bn=

1

8n+9

+

1

8n+5

-

1

4n+1

，由此利用已知条件能求出m的最小值．

解答： （本题满分13分）
解：（1）由an+12=

an2

4an2+1

(n∈N*)，
得

1

an+12

=

1

an2

+4
∵a₁=1，a_n＞0，∴

1

a12

=1，
∴数列{

1

an2

}是首项为1，公差为4的等差数列，
∴

1

an2

=1+(n-1)×4=4n-3，
∴an=

1

4n-3

．…（3分）
（2）∵b₁=1，

Sn+1

an2

=

Sn

an+12

+16n²-8n-3，
an2=

1

4n-3

，an+12=

1

4n+1

，
∴16n²-8n-3=（4n-3）（4n+1）=

1

an2an+12

，
∴an+12Sn+1=an2Sn+1，
∴an2Sn=n，∴S_n=n（4n-3），
∴b_n=S_n-S_n-1=[n（4n-3）]-[（n-1）（4n-7）]=8n-7，
当n=1时，8n-7=1=b₁，
∴b_n=8n-7…（6分）
∵数列{2ⁿb_n}的前n项和A_n，
∴A_n=2+9•2²+17•2³+…+（8n-7）•2ⁿ，①
2A_n=2²+9•2³+17•2⁴+…+（8n-7）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-A_n=2+8•2²+8•2³+…+8•2ⁿ-（8n-7）•2ⁿ⁺¹
=2+8×

4(1-2n-1)

1-2

-（8n-7）•2ⁿ⁺¹，
∴An=(8n-15)2n+1+30．…（9分）
（3）设B_n=T_2n+1-T_n，所以Bn+1-Bn=

1

8n+9

+

1

8n+5

-

1

4n+1

所以Bn+1-Bn=

1

8n+9

+

1

8n+5

-

2

8n+2

＜0
所以B_n+1＜B_n所以B_n最大值为B1=a22+a32=

14

45

所以

m

30

≥

14

45

，又m是正整数，所以m≥10，
所以m的最小值为10．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的求法，考查实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．