题目内容

2014年年初，某微小企业开发某项新产品，先期投入5万元启动资金，计划两年内逐月增加投入，已知2014年1月份投入资金0.1万元，以后每月比上个月多投入资金0.1万元，若该产品每个月的利润组成数列{an}，an=
n
5
，   n∈[1，12]，n∈N*
5
2
，   n∈[13，24]，n∈N*
．
（Ⅰ）求前n个月的利润总和；
（Ⅱ）设第n个月的利润率bn=
第n月利润
前n-1个月投入的资金总和
，求两年内哪一个月的利润率最大？并求出最大利润率．
考点：函数模型的选择与应用
专题：应用题,函数的性质及应用
分析：（Ⅰ）利用分段函数，可求前n个月的利润总和；
（Ⅱ）利用分段函数，分别求出第n个月的利润率，比较即可得出结论．
解答： 解：（Ⅰ）设前n个月的利润总和为y，则
1≤n≤12时，y=
1
5
•
n(1+n)
2
=
n(1+n)
10
；
13≤n≤24时，y=
12•13
10
+
5
2
（n-12）=
5
2
n-
72
5
，
∴y=
n(1+n)
10
，n∈[1，12]，n∈N*
5
2
n-
72
5
，n∈[13，14]，n∈N*
；
（Ⅱ）1≤n≤12时，an=
n
5
，前n-1个月投入的资金总和为5+（n-1）•0.1+
(n-1)(n-2)
2
•0.1=5+
n(n-1)
20
，
∴bn=
n
5
5+
n(n-1)
20
=
4
100
n
+n-1
∈[
1
25
，
4
19
]；
13≤n≤24时，an=
5
2
，前n-1个月投入的资金总和为5+（n-1）•0.1+
(n-1)(n-2)
2
•0.1=5+
n(n-1)
20
，
∴bn=
5
2
5+
n(n-1)
20
∈[
25
326
，
25
128
]，
∵
4
19
＞
25
128
，∴n=10时，利润率最大为
4
19
．
点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的性质和综合运用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足a1=3，an+1=2an-1（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
2n
an•an+1
，试判断数列{bn}的前n项和Sn与
1
3
的大小关系．
在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．
（1）求证：点A（1，2），B（-1，0）被直线x+y-1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
观察下列不等式：
2
3
＜
2+1
3+1
，
2
3
＜
2+2
3+2
，
2
3
＜
2+3
3+3
，
2
3
＜
2+4
3+4
，…
照此规律，写出第n个不等式，然后判断这个不等式是否成立并给出证明．
在半径为1的圆内任一点为中点作弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率．
已知数列{an}满足，a1=1，an＞0且an+12=
an2
4an2+1
（n∈N*）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}的前n项和Sn满足：b1=1，
Sn+1
an2
=
Sn
an+12
+16n2-8n-3，求数列{2nbn}的前n项和An．
（3）记Tn=a12+a22+…+an2，若T2n+1-Tn≤
m
30
对任意n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．
木工技艺是我国传统文化瑰宝之一，体现了劳动人民的无穷智慧．很多古代建筑和家具不用铁钉，保存到现代却依然牢固，这其中，有连接加固功能的“楔子”发挥了重要作用；如图，是一个楔子形状的直观图．其底面ABCD为一个矩形，其中AB=6，AD=4．顶部线段EF∥平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=6
2
，EF=2，二面角F-BC-A的余弦值为
17
17
，设M，N是AD，BC的中点，
（1）证明：BC⊥平面EFNM；
（2）求平面BEF和平面CEF所成锐二面角的余弦值．
在平面直角坐标系中，已知An（n，an）、Bn（n，bn）、Cn（n-1，0）（n∈N*），满足向量
A1An+1
与向量
BnCn
共线，且点Bn（n，bn）（n∈N*）都在斜率为6的同一条直线上．
（1）试用a1，b1与n来表示an；
（2）设a1=a，b1=-a，且12＜a≤15，求数{an}中的最小值的项．
已知函数f（x）=
-
a
ax+
a
（a＞0且a≠1），则f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）的值为
 
．

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