Question

已知函数f（x）=x+

a

x

-lnx，试判断函数分别在下列条件下的单调性：
（1）a＜-1；
（2）a＜0；
（3）a∈R．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：首先，求导数，然后，将导数表达式进行化简，最后，结合二次函数和一元二次不等式对a的取值情况进行分类讨论．

解答： 解：∵f（x）=x+

a

x

-lnx，定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=1-

a

x2

-

1

x

=

x2-x-a

x2

，
（1）令f′（x）＞0，x²-x-a＞0，
∵方程x²-x-a=0的判别式：
△=1+4a，
∵a＜-1，
∴△=1+4a＜0，
∴f′（x）＞0恒成立，
增区间为：（0，+∞），
此时没有减区间．
（2）当a＜0时，
结合（1），此时，△=1+4a＜0，
∴f′（x）＞0恒成立，
增区间为：（0，+∞），
此时没有减区间．
（3）结合（1），
令f′（x）＞0，x²-x-a＞0，
∵方程x²-x-a=0的判别式：
△=1+4a，
当△＜0时，即a＜-

1

4

，
此时，只有增区间为：（0，+∞），
此时没有减区间．
当△≥0时，即a≥-

1

4

，
此时，增区间为：（

1+ 1+4a

2

，+∞），
减区间：（0，

1+ 1+4a

2

）．

点评：本题重点考查了函数的单调区间的求解方法、函数的单调性与导数等知识，属于中档题，重点考查分类讨论思想．