Question

某服装厂品牌服装的年固定成本100万元，每生产1万件需另投入27万元，设服装厂一年内共生产该品牌服装x万件并全部销售完，每万件的销售收入为R（x）万元．且R（x）=

108- 1 3 x2(0＜x≤10) 1080 x - 10000 3x2  (x＞10)

（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；   
（2）年产量为多少万件时，服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大？（注：年利润二年销售收入-年总成本）

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）根据年利润=年销售收入-年总成本，可得年利润y（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；
（2）由（1）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果．

解答： 解：（1）当0＜x≤10时，y=x（108-

1

3

x2）-100-27x=81x-

1

3

x3-100，
当x＞10时，y=（

1080

x

-

10000

3x2

）x-100-27x=980-（

10000

3x

+27x），
∴y=

81x- 1 3 x3-100(0＜x≤10) 980-( 10000 3x +27x)(x＞10)

（2）①当0＜x≤10时，y′=81-x²，令y′=0可得x=9，
x∈（0，9）时，y′＞0；x∈（9，10）时，y′＜0，
∴x=9时，y_max=386万元；
②当x＞10时，y=980-（

10000

3x

+27x）≤980-600=380（万元）
（当且仅当x=

100

9

时取等号）…（10分）
综合①②知：当x=9时，y取最大值…（11分）
故当年产量为9万件时，服装厂在这一品牌服装的生产中获年利润最大…（12分）

点评：本题考查的知识点是分段函数及函数的最值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．