题目内容
12．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点为A1，A2，抛物线E以坐标原点为顶点，以A2为焦点．若双曲线C的一条渐近线与抛物线E及其准线分别交于点M，N，若$\overrightarrow{M{A_2}}⊥\overrightarrow{{A_1}{A_2}}$，∠MA1N=135°，则双曲线C的离心率为（ ）| A． | $\sqrt{5}$ | B． | 2 | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\sqrt{2}$ |
分析 根据抛物线和双曲线的位置关系，得到抛物线的准线方程为x=-a，由∠MA1N=135°，得三角形MA1A2是等腰直角三角形，从而得到b=2a，进行求解即可．
解答 
解：∵抛物线E以坐标原点为顶点，以A2为焦点．
∴抛物线的准线方程为x=-a
∵$\overrightarrow{M{A_2}}⊥\overrightarrow{{A_1}{A_2}}$，∴MA2⊥x轴，
设渐近线为y=$\frac{b}{a}$x，则当x=a时，y=b，即M（a，b），
∵∠MA1N=135°，
∴∠MA1A2=45°，
即三角形MA1A2是等腰直角三角形，
则 MA2=A1A2，即b=2a，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故选：A．
点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线和抛物线的关系确定三角形MA1A2是等腰直角三角形是解决本题的关键．
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如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），直线l交椭圆于A，B两个不同点．
20．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点为A1，A2，抛物线E以坐标原点为顶点，以A2为焦点．若双曲线C的一条渐近线与抛物线E及其准线分别交于点M，N，且$\overrightarrow{{A_1}N}=\overrightarrow{M{A_2}}$，∠MA1N=135°，则双曲线C的离心率为（ ）
| A． | $\sqrt{5}$ | B． | 2 | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\sqrt{2}$ |
7．若tanα=2，则sin2α=（ ）
| A． | $-\frac{2}{5}$ | B． | $-\frac{4}{5}$ | C． | $\frac{2}{5}$ | D． | $\frac{4}{5}$ |
17．
如表中给出了2011年～2015年某市快递业务总量的统计数据（单位：百万件）
（Ⅰ）在图中画出所给数据的折线图；
（Ⅱ）建立一个该市快递量y关于年份代码x的线性回归模型；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）所得的模型，预测该市2016年的快递业务总量．
附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
斜率：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，纵截距：$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．
如表中给出了2011年～2015年某市快递业务总量的统计数据（单位：百万件）| 年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
| 年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 快递业务总量 | 34 | 55 | 71 | 85 | 105 |
（Ⅱ）建立一个该市快递量y关于年份代码x的线性回归模型；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）所得的模型，预测该市2016年的快递业务总量．
附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
斜率：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，纵截距：$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．