题目内容

20．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点为A1，A2，抛物线E以坐标原点为顶点，以A2为焦点．若双曲线C的一条渐近线与抛物线E及其准线分别交于点M，N，且$\overrightarrow{{A_1}N}=\overrightarrow{M{A_2}}$，∠MA1N=135°，则双曲线C的离心率为（　　）
A．$\sqrt{5}$B．2C．$\sqrt{3}$D．$\sqrt{2}$

分析 根据抛物线和双曲线的位置关系，得到抛物线的准线方程为x=-a，由$\overrightarrow{{A_1}N}=\overrightarrow{M{A_2}}$，得MA2⊥x轴，由∠MA1N=135°，得三角形MA1A2是等腰直角三角形，从而得到b=2a，进行求解即可．

解答 解：∵抛物线E以坐标原点为顶点，以A2为焦点．
∴抛物线的准线方程为x=-a，
∵$\overrightarrow{{A_1}N}=\overrightarrow{M{A_2}}$，∴MA2⊥x轴，
设渐近线为y=$\frac{b}{a}$x，则当x=a时，y=b，即M（a，b），
∵∠MA1N=135°，
∴∠MA1A2=45°，
即三角形MA1A2是等腰直角三角形，
则 MA2=A1A2，即b=2a，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线和抛物线的关系确定三角形MA1A2是等腰直角三角形是解决本题的关键．

练习册系列答案
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（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=log3a1+log3a2+…+log3an，数列{$\frac{1}{b_n}$}的前n项和Tn，求证：Tn＜2．
11．已知两条平行线之间的距离为6cm，和这两条平行线都相切的动圆圆心的轨迹是（　　）
A．和这两条直线平行，且距离等于6cm的一条直线
B．和这两条直线平行，且距离等于3cm的两条直线
C．和这两条直线平行，且距离等于3cm的一条直线
D．和这两条直线平行，且距离等于3cm的三条直线
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（Ⅱ）若M为PB的中点，求二面角M-AC-D的余弦值．
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A．$\sqrt{5}$B．2C．$\sqrt{3}$D．$\sqrt{2}$
9．用1，2，3，4，5，6这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中1，3，5三个数字互不相邻的六位数有144个．
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（Ⅰ）求证：（1+tanA）（1+tanB）=2；
（Ⅱ）求tan$\frac{5}{8}$π的值．

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