Question

4．已知函数f（x）=（x-a）²lnx（a为常数）．
（Ⅰ）若f（x）在（1，f（1））处的切线与直线2x+2y-3=0垂直．
（ⅰ）求实数a的值；
（ⅱ）若a非正，比较f（x）与x（x-1）的大小；
（Ⅱ）如果0＜a＜1，判断f（x）在（a，1）上是否有极值，若有极值是极大值还是极小值？若无极值，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（i）求出f（x）的导数，根据切线的斜率是f′（1）=-$\frac{1}{k}$=1，解出a的值即可；
（ii）求出f（x）的表达式，作差，得到x²lnx-x（x-1）=x（xlnx-x+1），令g（x）=xlnx-x+1，根据函数的单调性求出g（x）的最小值g（1）=0，得到g（x）≥0恒成立，从而求出f（x）与x（x-1）的大小即可；
（Ⅱ）求出f′（x）=（x-a）（2lnx+$\frac{x-a}{x}$），令F（x）=2lnx+1-$\frac{a}{x}$，求出F（x）的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可．

解答 解：（Ⅰ）（ⅰ）f（x）定义域是（0，+∞），f′（x）=（x-a）（2lnx+$\frac{x-a}{x}$），
∵直线2x+2y-3=0的斜率为：k=-1，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率-$\frac{1}{k}$=1，
即f′（1）=（1-a）（2ln1+$\frac{1-a}{1}$）=（1-a）²=1，
∴a=0或a=2；
（ⅱ）由（ⅰ）知，a=0，∴f（x）=x²lnx，
∵x²lnx-x（x-1）=x（xlnx-x+1），
∴令g（x）=xlnx-x+1，g′（x）=lnx，
当x＞1时，g′（x）＞0，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
g（x）_min=g（1）=0，∴g（x）≥0恒成立，
即f（x）≥x（x-1）；
（Ⅱ）f′（x）=（x-a）（2lnx+$\frac{x-a}{x}$），
令F（x）=2lnx+1-$\frac{a}{x}$，F′（x）=$\frac{2x+a}{{x}^{2}}$＞0，
∴F（x）在（a，1）上单调递增，又F（1）=1-a＞0，F（a）=2lna＜0，
所以在（a，1）上必存在x₀，使F（x₀）=0，
又x-a＞0，∴当x∈（a，x₀），f′（x）＜0，x∈（x₀，1），f′（x）＞0，
∴f（x）在（a，x₀）单调递减，在（x₀，1）单调递增，
∴x=x₀是f（x）的极值点，且为极小值．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数值的大小比较，是一道中档题．