Question

17．如表中给出了2011年～2015年某市快递业务总量的统计数据（单位：百万件）

年份	2011	2012	2013	2014	2015
年份代码	1	2	3	4	5
快递业务总量	34	55	71	85	105

（Ⅰ）在图中画出所给数据的折线图；
（Ⅱ）建立一个该市快递量y关于年份代码x的线性回归模型；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）所得的模型，预测该市2016年的快递业务总量．
附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
斜率：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，纵截距：$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据表中所给的数据，得到点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图；
（Ⅱ）先求出年份代码x和快递量y的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程；
（Ⅲ）先求得2016年对于的年份代码，代入线性回归方程，即可求得该市2016年的快递业务总量．

解答 解：（Ⅰ）所给数据的折线图如下：

…（3分）
（Ⅱ）可得$\overline x=3$，$\overline y=70$，
$\widehatb=\frac{（1-3）（34-70）+（2-3）（55-70）+（3-3）（71-70）+（4-3）（85-70）+（5-3）（105-70）}{{{{（1-3）}^2}+{{（2-3）}^2}+{{（3-3）}^2}+{{（4-3）}^2}+{{（5-3）}^2}}}$，
=$\frac{72+15+0+15+70}{4+1+0+1+4}=\frac{172}{10}=17.2$，$\widehata=70-17.2×3=18.4$，
∴y与x的回归模型为：$\widehaty=17.2x+18.4$．…（9分）
（Ⅲ）把2016年的年份代码x=6代入回归模型得$\widehaty=17.2×6+18.4=121.6$（百万件），
∴预计该市2016年的快递业务总量约为121.6百万件．…（12分）

点评 本题考查散点图，考查线性回归方程的求法，考查利用线性回归方程进行预测，属于基础题．