Question

17．若对于任意角θ∈R，总有sin²θ+2mcosθ+4m-1＜0成立，求m的范围是（-∞，0）．

Answer 1

分析 分离参数得m＜$\frac{1}{2}$•$\frac{co{s}^{2}θ}{cosθ+2}$，令f（θ）=$\frac{1}{2}$•$\frac{co{s}^{2}θ}{cosθ+2}$，求出f_min（θ），则m＜f_min（θ）．

解答 解：∵sin²θ+2mcosθ+4m-1＜0，∴（2cosθ+4）m＜1-sin²θ=cos²θ，
∵2cosθ+4＞0，∴m＜$\frac{1}{2}$•$\frac{co{s}^{2}θ}{cosθ+2}$．
令f（θ）=$\frac{1}{2}$•$\frac{co{s}^{2}θ}{cosθ+2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{（cosθ+2）^{2}-4（cosθ+2）+4}{cosθ+2}$=$\frac{1}{2}$•[（cosθ+2）+$\frac{4}{cosθ+2}$-4]，
∵cosθ+2＞0，∴（cosθ+2）+$\frac{4}{cosθ+2}$-4≥2$\sqrt{4}$-4=0，当且仅当cosθ+2=$\frac{4}{cosθ+2}$即cosθ=0时取等号．
∴f_min（θ）=0，
∵对于任意角θ∈R，总有sin²θ+2mcosθ+4m-1＜0成立，
∴m＜$\frac{1}{2}$•$\frac{co{s}^{2}θ}{cosθ+2}$恒成立，∴m＜0．
故答案为（-∞，0）．

点评 本题考查了三角函数化简求值，函数恒成立问题，属于中档题．