Question

在公差不为0的等差数列{a_n}中，a₃+a₁₀=15，且a₂，a₅，a₁₁成等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

an

+

1

an+1

+…+

1

a2n-1

，证明：

1

2

≤b_n＜1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，所以b_n+1-b_n=

1

2n+1

-

1

2n+2

＞0，由此利用单调性和放缩法能证明

1

2

≤b_n＜1．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由已知得

a1+2d+a1+9d=15 (a1+4d)2=(a1+d)(a1+10d)

，
d≠0，解得a₁=2，d=1，
∴a_n=n+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
b_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
b_n+1=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

，
∵b_n+1-b_n=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

＞0，
∴b_n+1＞b_n．∴bn≥b1 =

1

2

．
∵b_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

≤

1

n+1

+

1

n+1

+…+

1

n+1

=

n

n+1

＜1，
∴

1

2

≤b_n＜1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．