Question

设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f（m，k）=

5

i=1

[m

k+1 i+1

]，其中，[a]表示不大于a的最大整数，则f（2，2）=

 

，若f（m，k）=19，则m^k=

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：结合新定义：对任意k∈P和正整数m，记f（m，k）=

5

i=1

[m

k+1 i+1

]，其中，[a]表示不大于a的最大整数，
将m=2，k=2代入即可得到f（2，2）的值；结合f（m，k）的单调性进行估算验证即可确定f（m，k）=19时，m与k的值，即得答案．

解答： 解：由于对任意k∈P和正整数m，记f（m，k）=

5

i=1

[m

k+1 i+1

]，其中，[a]表示不大于a的最大整数，
则f（2，2）=

5

i=1

[2

3 i+1

]
=[2

3 2

]+[2

3 3

]+[2

3 4

]+[2

3 5

]+[2

3 6

]
=[

6

]+[2]+[

3

]+[

2 15

5

]+[

2

]
=2+2+1+1+1=7，
由于若m＞n，则f（m，k）＞f（n，k），
若k＞t，则f（m，k）＞f（m，t），
由于f（m，k）=19＞7，故m＞2，
当m=3，k=3时，则f（3，3）=

5

i=1

[3

4 i+1

]
=[3

4 2

]+[3

4 3

]+[3

4 4

]+[3

4 5

]+[3

4 6

]
=[3

2

]+[2

3

]+[3]+[

6 5

5

]+[

6

]
=4+3+3+2+2=14≠19，
当m=4，k=3时，则f（4，3）=

5

i=1

[4

4 i+1

]
=[4

4 2

]+[4

4 3

]+[4

4 4

]+[4

4 5

]+[4

4 6

]
=[4

2

]+[

8 3

3

]+[4]+[

8 5

5

]+[

4 6

3

]
=5+4+4+3+3=19，
故m=4，k=3时，f（m，k）=19，
则m^k=64，
故答案为：7；64．（提示：利用f（m，k）的单调性进行估算验证确定）

点评：本题为创新概念题，做题时，需紧扣新概念，属于中档题．