Question

已知椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点A的坐标是（0，-1），且右焦点Q到直线x-y+2

2

=0的距离为3．
（1）求椭圆方程；
（2）试问是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，使l与椭圆M有两个不同的交点B、C，且|AB|=|AC|？若存在，求出k的范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出b=1，

|c+2 2 |

2

=3，由此能求出椭圆M的方程．
（2）设l：y=kx+m（k≠0），代入椭圆M的方程得：（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=0，由△＞0得3k²＞m²-1，设B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），利用韦达定理和直线方程求出P（-

3km

1+3k2

，

m

1+3k2

），由|AB|=|AC|，推导出m=

1

2

（1+3k²），由此能求出存在满足条件的直线l，其斜率k∈（-1，0）∪（0，1）．

解答： 解：（1）∵椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点A的坐标是（0，-1），
∴b=1，
∵右焦点Q到直线x-y+2

2

=0的距离为3．
设Q（c，0）（c＞0），∴

|c+2 2 |

2

=3，解得c=

2

，
∴a²=b²+c²=3，
∴椭圆M的方程：

x2

3

+y²=1．
（2）设l：y=kx+m（k≠0），
代入椭圆M的方程得：（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=0，
由△＞0得：（6km）²-12（1+3k²）（m²-1）＞0，
∴3k²＞m²-1…①
设B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），
则BC中点P（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），且

x1+x2

2

=-

3km

1+3k2

，
∴

y1+y2

2

=k×

x1+x2

2

+m=

m

1+3k2

，
∴P（-

3km

1+3k2

，

m

1+3k2

），
∵|AB|=|AC|，∴AP⊥BC，即k_AP•k_BC=-1，
∴

m 1+3k2 +1

-3mk 1+3k2 -0

=-

1

k

，∴m=

1

2

（1+3k²）…②，
由①②得：（1+3k²）（1-k²）＞0，∴-1＜k＜1且k≠0，
∴存在满足条件的直线l，其斜率k∈（-1，0）∪（0，1）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在并求直线的斜率的取值范围，综合性强，难度较大，解题时要注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．