Question

15．在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60°，PC=AC．
（1）求证：PA⊥平面CMN；
（2）求证：AM∥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）推导出MN∥AD，PC⊥AD，AD⊥AC，从而AD⊥平面PAC，进而AD⊥PA，MN⊥PA，再由CN⊥PA，能证明PA⊥平面CMN．
（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，推导出MQ∥PC，从而MQ∥平面PBC，再求出AQ∥平面，从而平面AMQ∥平面PCB，由此能证明AM∥平面PBC．

解答 证明：（1）∵M，N分别为PD、PA的中点，
∴MN为△PAD的中位线，∴MN∥AD，
∵PC⊥底面ABCD，AD?平面ABCD，∴PC⊥AD，
又∵AD⊥AC，PC∩AC=C，∴AD⊥平面PAC，
∴AD⊥PA，∴MN⊥PA，
又∵PC=AC，N为PA的中点，∴CN⊥PA，
∵MN∩CN=N，MN?平面CMN，CM?平面CMN，
∴PA⊥平面CMN．
解（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，
∵MQ是△PCD的中位线，∴MQ∥PC，
又∵PC?平面PBC，MQ?平面PBC，∴MQ∥平面PBC，
∵AD⊥AC，∠ACD=60°，∴∠ADC=30°．
∴∠DAQ=∠ADC=30°，∴∠QAC=∠ACQ=60°，
∴∠ACB=60°，∴AQ∥BC，
∵AQ?平面PBC，BC?平面PBC，∴AQ∥平面PBC，
∵MQ∩AQ=Q，∴平面AMQ∥平面PCB，
∵AM?平面AMQ，∴AM∥平面PBC．

点评 本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．