题目内容

设
OA
=（1，2），
OB
=（a，3），
OC
=（-b，4），a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则
1
a
+
2
b
的最小值是（　　）
A、2
B、4
C、4
2
D、8
考点：三点共线,基本不等式
专题：不等式的解法及应用,直线与圆
分析：利用向量共线定理、基本不等式的性质即可得出．
解答： 解：
AB
=
OB
-
OA
=（a-1，1），
AC
=
OC
-
OA
=（-b-1，2）．
∵A，B，C三点共线，
∴-b-1-2（a-1）=0，
化为2a+b=1．
又a＞0，b＞0，
∴
1
a
+
2
b
=（2a+b）(
1
a
+
2
b
)=4+
b
a
+
4a
b
≥4+2
b
a
•
4a
b
=8，当且仅当b=2a=
1
2
时取等号．
∴
1
a
+
2
b
的最小值是8．
故选：D．
点评：本题考查了向量共线定理、基本不等式的性质，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
过点（1，0）与双曲线x2-y2=1仅有一个公共点的直线共有（　　）
A、1条B、2条C、3条D、4条
某商场在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是P=
t+30，0＜t＜15，t∈N
-t+60，15≤t≤30，t∈N
，该商场的日销售量Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天．
若a＜b＜0，则下列不等关系中，不能成立的是（　　）
A、
1
a-b
＞
1
a
B、
1
a
＞
1
b
C、a
1
3
＜b
1
3
D、a
2
3
＞b
2
3
已知为原点，点P（x，y）在圆x2+y2=1上，点Q（2cosθ，2sinθ）满足
PQ
=（
4
3
，-
2
3
），则
OP
•
OQ
=
 
．
要得到函数y=2cos（2x-
π
4
）的图象，只需将函数y=2cos2x的图象（　　）
A、向左平移
π
4
个单位
B、向右平移
π
4
个单位
C、向左平移
π
8
个单位
D、向右平移
π
8
个单位
已知cosθ=
7
25
，θ∈（2π，
5π
2
），则sin
θ
2
-cos
θ
2
=
 
．
化简：sin（
π
4
-x）cos（
π
3
-x）-sin（
π
4
+x）sin（
π
3
-x）
设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，起到函数为f′（x），且有xf′（x）＞x2+2f（x），则不等式4f（x+2015）-（x+2015）2f（-2）＞0的解集为（　　）
A、（-∞，2017）
B、（-2017，0）
C、（-∞，-2016）
D、（-2016，0）

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