Question

某商场在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是P=

t+30，0＜t＜15，t∈N -t+60，15≤t≤30，t∈N

，该商场的日销售量Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用

分析：应充分考虑自变量的范围不同销售的价格表达形式不同，分情况讨论日销售金额P关于时间t的函数关系，再根据分段函数不同段上的表达式，分别求最大值，最终取较大者分析即可获得问题解答．

解答： 解：当0＜t＜15，t∈N₊时，y=（t+30）（-t+40）=-t²+10t+1200=-（t-5）²+1225．
∴t=5时，y_max=1225；
当15≤t≤30，t∈N₊时，y=（-t+60）（-t+40）=t²-100t+2400=（t-50）²-100，
而y=（t-50）²-100，在t∈[15，30]时，函数递减．
∴t=15时，y_max=1125，
∵1225＞1125，
∴最近30天内，第5天达到最大值，最大值为1225元．

点评：本题考查的是分段函数应用类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、二次函数求最值的方法以及问题转化的能力．