Question

给出下列命题：
①设f（x）是定义在（-a，a）（a＞0）上的偶函数，且f′（0）存在，则f′（0）=0．
②设函数f（x）是定义在R上的可导函数，则函数f（x）•f（-x）的导函数为偶函数．
③方程xe^x=2在区间（0，1）内有且仅有一个实数根．
其中为真命题的是（　　）

• A、①②③
• B、①②
• C、②③
• D、①③

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：由f（x）是定义在（-a，a）（a＞0）上的偶函数，证得其导函数为奇函数得①正确；
由函数f（x）•f（-x）是偶函数，可知其导函数为奇函数，说明②错误；
把方程xe^x=2化为两个函数f（x）=e^x，g（x）=

2

x

，由f（x）在（0，1）内为增函数，g（x）在（0，1）内为减函数，且f（1）=e＞2=g（1）可知两函数在（0，1）内仅有一个交点，说明③正确．

解答： 解：①设f（x）是定义在（-a，a）（a＞0）上的偶函数，则f（x）=f（-x），
设其导函数为g（x），
则g（x）=

lim

△x→0

f(x+△x)-f(x)

△x

，g(-x)=

lim

△x→0

f(-x+△x)-f(-x)

△x

=

lim

△x→0

-

f(x-△x)-f(x)

-△x

=-g（x），
∴f（x）的导函数为奇函数，又f′（0）存在，则f′（0）=0．①正确；
②设函数f（x）是定义在R上的可导函数，
∵函数f（x）•f（-x）是偶函数，则其导函数为奇函数，②错误；
③方程xe^x=2化为ex=

2

x

，设两函数f（x）=e^x，g（x）=

2

x

，
∵f（1）=e＞2=g（1），
∴在区间（0，1）内两函数f（x）=e^x，g（x）=

2

x

有且仅有一个交点，即方程xe^x=2在区间（0，1）内有且仅有一个实数根，③正确．
∴正确的命题是①③．
故选：D．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了可导函数奇偶性的判断，训练了函数零点的判断方法，是中档题．