Question

今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：小时）间的关系为P（t）=P₀e^-k t（P₀，k均为非零常数，e为自然对数的底数），其中P₀为t=0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．
（Ⅰ）求常数k的值；
（Ⅱ）试计算污染物减少到40%至少需要多少时间（精确到1小时，参考数据：ln0.2≈-1.61，ln0.3≈-1.20，ln0.4=-0.92，ln0.5=-0.69，ln0.9≈-0.11）．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由题意，P（5）=P₀e^-k5=P₀90%；从而解得k；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P（t）=P₀e^-kt=(

9

10

)

t

5

P₀≤P₀40%；即(

9

10

)

t

5

≤40%；从而可解出t≥44；从而得到最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，P（5）=P₀e^-k5=P₀90%；
解得，k=

ln10-ln9

5

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
P（t）=P₀e^-kt=(

9

10

)

t

5

P₀≤P₀40%；
即(

9

10

)

t

5

≤40%；
解得，t≥44；
故污染物减少到40%至少需要44小时．

点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了对数运算，属于中档题．