Question

若函数f（x）为可导偶函数，且f（x+

1

2

）=-f（x），则曲线y=f（x）在x=1处的切线的倾斜角为（　　）

• A、0
• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：根据条件确定函数的周期性，根据导数的几何意义即可得到结论．

解答： 解：由f（x+

1

2

）=-f（x），得f（x+1）=-f（x+

1

2

）=f（x），
即函数f（x）是周期为1的周期函数，
∵f（x）是R上可导偶函数，
∴f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（x）在x=0处取得极值，即f′（0）=0，
又∵f（x）的周期为1，
∴f′（1）=f′（0）=0，即曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率0，
故y=f（x）在x=1处的切线的倾斜角0，
故选：A

点评：本题考查函数的周期性、奇偶性、导数的几何意义、极值点满足的条件．涉及的知识点较多，综合性较强．