Question

4．已知{a_n}是一个单调递增的等差数列，且满足$\sqrt{21}$是a₂，a₄的等比中项，a₁+a₅=10．数列{b_n}满足${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用数列的求和方法：“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则依题知d＞0．
由2a₃=a₁+a₅=10，又可得a₃=5．
由$\sqrt{21}$是a₂，a₄的等比中项，可得a₂a₄=21，
得（5-d）（5+d）=21，可得d=2．
∴a₁=a₃-2d=1．可得a_n=2n-1（n∈N^*）；
（2）由（1）得${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴T_n=1•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{4}$+5•$\frac{1}{8}$+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，①
∴$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{4}$+3•$\frac{1}{8}$+5•$\frac{1}{16}$+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，②
①-②得，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ）-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．