Question

14．函数y=tanx-$\frac{1}{tanx}$的奇偶性是奇函数，最小正周期是$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 根据奇偶性的定义，判断y=f（x）是定义域上的奇函数；化简f（x）=-$\frac{1}{2tan2x}$，得出它的最小正周期T=$\frac{π}{2}$．

解答 解：因为函数y=f（x）=tanx-$\frac{1}{tanx}$的定义域是{x|x≠$\frac{kπ}{2}$，k∈Z}；
且f（-x）=tan（-x）-$\frac{1}{tan（-x）}$=-（tanx-$\frac{1}{tanx}$）=-f（x），
所以f（x）是定义域上的奇函数；
又f（x）=tanx-$\frac{1}{tanx}$=$\frac{{sin}^{2}x{-cos}^{2}x}{sinxcosx}$=-$\frac{cos2x}{2sin2x}$=-$\frac{1}{2tan2x}$，
所以它的最小正周期为T=$\frac{π}{2}$．
故答案为：奇函数，$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是基础题目．