Question

19．已知圆O：x²+y²=4，若不过原点O的直线l与圆O交于P、Q两点，且满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为±1．

Answer 1

分析 设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．由题意可设直线l的方程为：y=kx+t（t≠0），与圆的方程联立可得（1+k²）x²+2ktx+t²-4=0，得到根与系数的关系．利用直线OP、PQ、OQ的斜率成等比数列，可得$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=k²，化为k²=1，即可求出直线l的斜率．

解答 解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由题意可设直线l的方程为：y=kx+t（t≠0，±1）．
联立圆O：x²+y²=4，化为（1+k²）x²+2ktx+t²-4=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{2kt}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{t}^{2}-4}{1+{k}^{2}}$．
∵直线OP、PQ、OQ的斜率成等比数列，
∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=k²，
∴（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂，
化为tk（x₁+x₂）+t²=0，
∴k•（-$\frac{2kt}{1+{k}^{2}}$）+t=0，
∴k²=1，
∴k=±1．
故答案为：±1．

点评 本题考查了直线与圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．