题目内容

13．我国从2016年1月1日起统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如表：
生二胎不生二胎合计
70后301545
80后451055
合计7525100
（1）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且视频率为概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X，求随机变量X的分布列，数学期望和方差；
（2）根据调查数据，是否有90%的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．
参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.005
k02.0722.7063.8415.0246.6357.879

分析 （1）由已知得该市70后“生二胎”的概率为$\frac{2}{3}$，且X～B（3，$\frac{2}{3}$），由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．
（2）求出K2=3.030＞2.706，从而有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．

解答 解：（1）由已知得该市70后“生二胎”的概率为 $\frac{30}{45}$=$\frac{2}{3}$，且X～B（3，$\frac{2}{3}$），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}$（$\frac{1}{3}$）3=$\frac{1}{27}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$（$\frac{2}{3}$）（$\frac{1}{3}$）2=$\frac{2}{9}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$（$\frac{2}{3}$）2（$\frac{1}{3}$）=$\frac{4}{9}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}$（$\frac{2}{3}$）3=$\frac{8}{27}$，
其分布列如下：

X0123
P$\frac{1}{27}$$\frac{2}{9}$$\frac{4}{9}$$\frac{8}{27}$
∴E（X）=3×$\frac{2}{3}$=2；
（2）假设生二胎与年龄无关，
K2=$\frac{100（30×10-45×15）^{2}}{75×25×45×55}$=$\frac{100}{33}$≈3.030＞2.706，
所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查独立性检验的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的合理运用．

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