Question

8．已知数列{a_n}满足a_n+1=a_n-a_n-1（n≥2，且n∈N），a₁=a，a₂=b，记S_n=a₁+a₂+…+a_n，则下列选项中正确的是（　　）

• A． a₁₀₀=-a，S₁₀₀=2b-a
• B． a₁₀₀=-b，S₁₀₀=2b-a
• C． a₁₀₀=-b，S₁₀₀=b-a
• D． a₁₀₀=-a，S₁₀₀=b-a

Answer 1

分析 由a_n+1=a_n-a_n-1（n≥2），得a_n+6=a_n+5-a_n+4=a_n+4-a_n+3-a_n+4=-a_n+3=-（a_n+2-a_n+1）=-（a_n+1-a_n-a_n+1）=a_n，所以6为数列{a_n}的周期，即可得出．

解答 解：由a_n+1=a_n-a_n-1（n≥2），得
a_n+6=a_n+5-a_n+4=a_n+4-a_n+3-a_n+4=-a_n+3=-（a_n+2-a_n+1）=-（a_n+1-a_n-a_n+1）=a_n，
所以6为数列{a_n}的周期，
又a₃=a₂-a₁=b-a，a₄=a₃-a₂=-a，a₅=a₄-a₃=-b，a₆=a₅-a₄=a-b，
所以a₁₀₀=a₉₆₊₄=a₄=-a，
S₁₀₀=16（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆）+a₁+a₂+a₃+a₄=16×0+a+b+b-a-a=2b-a，
故选：A．

点评 本题考查了数列的周期性、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．