Question

12．设函数f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+ax-2}$，其中a＞0，若存在实数x₀∈[1，2]，使f[f（x₀）]=x₀，则a的取值范围是（0，3-e]．

Answer 1

分析 根据反函数的定义将问题进行转化，再将解方程问题转化为函数的最值问题，从而求出a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+ax-2}$，其中a＞0，
若存在实数x₀∈[1，2]，使f[f（x₀）]=x₀，
则存在x₀∈[1，2]，使得f（x₀）=f^-1（x₀），
即函数f（x）与其反函数f^-1（x）在[1，2]上有交点；
∵f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+ax-2}$（a＞0）在[1，2]上为增函数，
∴函数f（x）与其反函数f^-1（x）在[1，2]的交点在直线y=x上，
即函数f（x）与其反函数f^-1（x）的交点就是f（x）与y=x的交点；
令：$\sqrt{{e}^{x}+ax-2}$=x，则方程在[1，2]上一定有解，
∴a=$\frac{{x}^{2}+2{-e}^{x}}{x}$，
设g（x）=x²+2-e^x，x∈[1，2]；
则g′（x）=2x-e^x＜0，∴g（x）在x∈[1，2]上是单调减函数，
∴a的最小值为$\frac{4+2{-e}^{2}}{2}$=3-$\frac{{e}^{2}}{2}$＜0，最大值为3-e；
综上，a的取值范围是（0，3-e]．
故答案为：（0，3-e]．

点评 本题主要考查了函数与方程以及导数的综合运用问题，属于难题．