Question

已知正实数x，y满足x+y+2=4xy，若对任意满足条件的x，y都有（x+y）²+1-m（x+y）≥0恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A、(-∞，

  5

  2

  ]
• B、[

  5

  2

  ，+∞)
• C、(-∞，

  3

  2

  ]
• D、[

  3

  2

  ，+∞)

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：由（x+y）²+1-m（x+y）≥0可得m≤(x+y)+

1

x+y

，再令t=x+y，则a≤t+

1

t

恒成立，求出t的范围，问题即转化为求函数a=t+

1

t

的最小值问题．

解答： 解：因为正实数x，y满足x+y+2=4xy，而4xy≤（x+y）²，代入原式得（x+y）²-（x+y）-2≥0，解得（x+y）≥2或（x+y）≤-1（舍去）
由（x+y）²+1-m（x+y）≥0恒成立得m≤(x+y)+

1

x+y

恒成立，令t=x+y∈[2，+∞），
则问题转化为m≤t+

1

t

，t∈[2，+∞)时恒成立，因为函数y=t+

1

t

在[1，+∞）递增，
所以要使原式成立只需m≤(t+

1

t

)min=2+

1

2

=

5

2

．
故选A．

点评：本题的关键是将x+y看成一个整体，构造出函数y=t+

1

t

，（t≥2）从而求出其最值解决问题．